Teselación {3, ∞} en el disco de Poincaré

Idea central

Esta obra muestra la teselación regular $\{3,\infty\}$ en el disco de Poincaré. En la notación de Schläfli $\{p,q\}$, el primer parámetro indica polígonos regulares de $p$ lados y el segundo indica cuántos se encuentran en cada vértice.

Aquí $p=3$ y $q=\infty$: las celdas son triángulos y en cada vértice ideal se acumulan infinitos triángulos. En el modelo del disco, esos vértices viven sobre la circunferencia límite.

Por qué existe en geometría hiperbólica

Una teselación regular $\{p,q\}$ existe en el plano hiperbólico cuando

$$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}.$$

Para $p=3$ y $q=\infty$ se tiene $\frac{1}{3}+0<\frac{1}{2}$, de modo que la teselación es hiperbólica.

Qué observar

• Los lados de los triángulos son geodésicas: arcos de circunferencia ortogonales al borde del disco.
• Todos los triángulos ideales son congruentes en geometría hiperbólica, aunque en la imagen parezcan cambiar de tamaño.
• Cerca del borde el dibujo se comprime por la proyección del modelo de Poincaré.

Para clase

Pide a los estudiantes que identifiquen un triángulo fundamental y describan qué simetrías permiten copiarlo. Después pueden comparar esta teselación con otras $\{p,q\}$ para decidir cuáles son euclidianas, esféricas o hiperbólicas.