Teselación {5,4} en el disco de Poincaré
Pentágonos regulares hiperbólicos organizados de modo que cuatro se encuentran en cada vértice.
Objetivos
- • Interpretar la teselación $\{5,4\}$ mediante la notación de Schläfli.
- • Comparar tamaño visual y tamaño hiperbólico en el disco de Poincaré.
- • Reconocer cómo las isometrías replican una celda fundamental.
Antes de explorar
Etiquetas
Idea central
La teselación está formada por pentágonos regulares hiperbólicos, con cuatro pentágonos alrededor de cada vértice. En geometría euclidiana esto no es posible con pentágonos regulares, pero en geometría hiperbólica la curvatura negativa abre espacio para nuevas combinaciones.
Condición hiperbólica
La condición
se cumple porque . Por eso pertenece al plano hiperbólico.
Qué observar
- Los pentágonos cercanos al borde parecen más pequeños por el modelo de Poincaré.
- Las geodésicas se ven como arcos ortogonales a la circunferencia límite.
- La estructura local se repite: alrededor de cada vértice se reúnen cuatro pentágonos.
Para clase
Una buena actividad es comparar con y . La pregunta guía puede ser: ¿qué cambia cuando la suma es menor, igual o mayor que ?
Para construirla
En el taller de teselaciones del museo puedes generar la 4 con los anillos y los colores que quieras, y descargarla en SVG o PDF.
Recursos y enlaces
Herramienta del museo
Crea tu propia teselación hiperbólica
El generador del museo construye teselaciones regulares, bi-regulares y uniformes en el disco de Poincaré —setenta y tres en total, incluidas las truncadas y las chatas—, además de franjas periódicas y anillos, y las descarga en SVG vectorial. Funciona en el navegador, sin instalar nada.
