Dibuja el lado y la tesela se cierra sola
Es el método de Escher, en el plano hiperbólico. Coges una teselación, deformas uno de sus lados, y lo que le quitas a una pieza le aparece a la de al lado. Encaja sin que haya que ajustar nada, porque la arista es una sola y las dos teselas que la comparten dibujan por fuerza la misma curva. Lo único que hay que decidir es cuánta libertad tiene el trazo, y eso lo decide la simetría de la teselación que deja esa arista quieta. Salen tres reglas.
El trazo
Arrastra los puntos. Pincha en el lienzo para añadir uno, y con Alt o con el botón derecho lo quitas. Los puntos de los extremos están clavados: si se movieran, la curva no llegaría al vértice y quedaría un hueco.
Con este trazo las piezas se pisan: alguna llega a meterse dentro de otra con la que no comparte lado. Las juntas siguen encajando, pero ya no es una teselación.
El acabado
La teselación
Por qué son exactamente tres
Una arista de la teselación no sabe, por sí sola, cuál de sus dos extremos es el principio ni cuál de sus dos lados es el de fuera. Si alguna simetría de la teselación la deja en su sitio pero le cambia los extremos o los lados, la curva que se dibuje encima tiene que aguantar ese cambio sin moverse. Eso es todo lo que limita el trazo, y por eso las reglas se cuentan mirando qué simetrías dejan quieta a la arista.
Si no la deja quieta ninguna, la curva es libre: es la regla libre. Eso pasa cuando los vértices de la teselación se pueden pintar de dos colores con vecinos siempre distintos, porque entonces cada arista va del negro al blanco y sabe cuál es su principio. El esqueleto de una teselación es bipartito exactamente cuando todas las piezas tienen un número par de lados, y de ahí que esta regla venga con cuadrados.
Si la deja quieta el giro de media vuelta alrededor de su punto medio, la curva tiene que ser invariante por ese giro. En coordenadas de la arista ese giro es cambiarle el signo a las dos coordenadas a la vez, así que basta con dibujar medio lado y dejar que el giro haga el otro medio: la regla de media vuelta. Este giro es simetría de cualquier {p,q} y cambia justo las dos teselas que comparten la arista, así que esta regla no le pide nada a la teselación y vale en todas. Las semicircunferencias del rompecabezas clásico —cuadrado, puntos medios de los lados, una semicircunferencia arriba y otra abajo— son un caso suyo.
Y si la deja quieta la reflexión en su mediatriz, la curva tiene que ser simétrica respecto del punto medio: la regla del espejo. Aquí aparece un problema que las otras dos no tienen: una curva simétrica abulta siempre hacia el mismo lado, así que hay que decir hacia cuál, y las dos vecinas tienen que decir lo mismo. Se resuelve alternando pestaña y hueco dando la vuelta a cada pieza, lo que otra vez exige un número par de lados.
Lo que sí se puede romper
El encaje entre dos vecinas no se puede romper: sale de cómo está montado y no depende del trazo. Lo que sí puede romperse es otra cosa. Si el trazo se aleja mucho del lado, una pieza llega a meterse dentro de otra con la que no comparte ningún lado, y entonces el dibujo deja de ser una teselación aunque cada junta esté perfecta. El editor lo comprueba mientras dibujas: prueba las curvas de las aristas cercanas dos a dos y mira si se cortan.
Preguntas
¿Por qué encajan las piezas sin tener que ajustarlas?
Porque cada arista de la teselación es una sola: las dos teselas que la comparten dibujan por fuerza la misma curva. Lo que se le quita a una pieza le aparece a la de al lado. No hay nada que comprobar ni que ajustar; el encaje es una consecuencia de cómo está montado.
¿Por qué solo hay tres reglas?
Porque lo único que limita la curva es la simetría de la teselación que deja esa arista quieta. Si no hay ninguna, la curva es libre. Si la deja quieta el giro de media vuelta sobre su punto medio, la curva tiene que ser invariante por ese giro. Y si la deja quieta la reflexión en su mediatriz, tiene que ser simétrica respecto del punto medio. No hay más casos.
¿Por qué cada regla trae su propia teselación?
Porque cada regla le pide algo a la teselación. La libre necesita que los vértices se puedan pintar de dos colores, y eso solo pasa si las piezas tienen un número par de lados. El espejo necesita poder alternar pestaña y hueco dando la vuelta a la pieza, que es la misma condición. La de media vuelta no pide nada y vale en cualquiera.
¿Qué pasa si el trazo se sale mucho?
Las dos vecinas de una arista siguen encajando —eso no se puede romper— pero una pieza puede llegar a meterse dentro de otra con la que no comparte lado, y entonces el dibujo deja de ser una teselación. El editor lo comprueba mientras dibujas y avisa.
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