Construir en el disco de Poincaré
Regla y compás, pero del plano hiperbólico. Escoge una herramienta de la barra y traza sobre el disco: las rectas salen curvas porque el modelo mete un plano infinito dentro de una circunferencia, y el borde no es un borde sino el infinito. Los ángulos que ves sí son los de verdad.
La herramienta, a pantalla completa
Se abre aquí mismo, en esta pestaña, con todo el sitio para construir. Y trae:
- colores rápidos y tamaño exacto de la letra para lo que selecciones;
- tu construcción guardada sola en este navegador, y en un archivo .ggb cuando quieras;
- el dibujo en PDF, SVG o PNG, recortado a lo que hay, y el PDF en RGB o en CMYK.
Qué hay en la barra
La barra es la de GeoGebra de siempre —puntos, rectas, circunferencias, cónicas, medidas, transformaciones— más un grupo de herramientas hiperbólicas hechas a propósito para este disco. Cada icono es un grupo: al pulsar en su esquina se despliegan las demás del grupo, y abajo aparece una línea explicando qué pide la herramienta activa.
- Las de siempre
- Todo el juego habitual de GeoGebra: puntos, rectas, segmentos, circunferencias, cónicas, polígonos, ángulos, medidas, transformaciones y las de mover, acercar y borrar.
- Puntos hiperbólicos
- Punto dentro o sobre el disco, y punto medio hiperbólico de dos puntos.
- Rectas hiperbólicas
- Geodésica y segmento —las rectas del plano hiperbólico, que en el disco se ven curvas—, perpendicular por un punto, mediatriz y bisectriz.
- Polígonos
- Del triángulo al decágono, dibujados vértice a vértice, y su relleno.
- Polígonos regulares
- Centrados en el origen o móviles, del triángulo al decágono, más la corona local: el anillo de copias que rodea a uno de ellos.
- Movimientos
- Reflejar, rotar y trasladar cada polígono. Son las isometrías del plano hiperbólico, las que llevan una figura a otra igual aunque en el disco parezcan de tamaños distintos.
- Medidas
- Distancia y ángulo hiperbólicos. La distancia no es la que se ve: dos puntos cerca del borde están mucho más lejos de lo que parece.
Preguntas
¿Por qué las rectas se ven curvas?
Porque el disco de Poincaré mete el plano hiperbólico entero dentro de una circunferencia, y para hacerlo tiene que deformar las distancias. A cambio conserva los ángulos: los que se ven en la pantalla son los de verdad. Las rectas del plano hiperbólico salen como arcos perpendiculares al borde del disco, o como diámetros.
¿Qué es la frontera del disco?
No forma parte del plano: es el infinito. Un punto que se acerca al borde se está yendo infinitamente lejos, aunque en la pantalla recorra unos pocos píxeles. Por eso las figuras parecen encogerse ahí, y por eso las herramientas piden que los puntos estén dentro.
¿Se guarda lo que construyo?
Sí. Mientras trabajas, la construcción se guarda sola en este navegador: si cierras la pestaña o vuelves otro día, sigue ahí. Con «Guardar» te llevas el archivo .ggb, que se abre otra vez en el editor o en GeoGebra.
¿Cómo saco una imagen para un trabajo o para imprimir?
Con «Exportar el dibujo». PDF o SVG si la vas a ampliar sin que pierda nitidez; PNG, a 300 ppp y sin fondo, si la vas a pegar tal cual. «Recortar al dibujo» quita el blanco de alrededor, y el PDF puede ir en CMYK si va a una imprenta.
¿Puedo girar un texto?
Sí. Selecciónalo y usa «Girar», en la barra de arriba: de 15° en 15°, a un ángulo que escribas, o con el último botón, que lo pone en la dirección de la geodésica que selecciones junto con él. Gira sobre su centro y sale así en el PDF, el SVG y el PNG.
La construcción es Disco de Poincaré, del museo, y está publicada en GeoGebra. ¿Quieres teselaciones en vez de construcciones? Están en Teselar y en Deformar.