En el disco cada geodésica se escribe como arco SVG matemático, no como cadena de rectas: el zoom sigue siendo continuo.
Taller del museo
Taller de teselaciones hiperbólicas
Elige un diseño y una teselación y ya está: sale dibujada, con la profundidad ajustada a lo que esa combinación aguanta. Todo se calcula en tu dispositivo y se descarga en SVG o PDF vectoriales, o en PNG.
Cálculo local y código abierto
Este generador dibuja la teselación con los lados rectos o con las siluetas que trae hechas. Si lo que quieres es dibujar tú el lado y ver cómo la pieza encaja sola —el método de Escher— eso está en Deformar; y si quieres construir a mano con regla y compás hiperbólicos, en Construir.
Qué ocurre al generar
Detalle completo, archivo manejable
El logaritmo y la exponencial llevan una geodésica a una curva que SVG no expresa con un arco. El stripe y el anillo usan Bézier cúbicas con derivadas analíticas y tolerancia explícita, nunca polilíneas.
La vuelta completa se divide por kΔ, así que k controla de verdad el grosor y una salida de un período no se confunde con un disco.
El motor conforme encuentra el disco inscrito en el parche finito y sólo exporta la parte cubierta en todas las direcciones.
Las curvas del mismo color pueden vivir como subtrazados de un solo elemento compuesto, sin perder ni un nodo.
Los parámetros y el resultado permanecen en este dispositivo; el sitio solo entrega el programa público.
La matemática detrás
Qué estás construyendo
Por qué en el plano hiperbólico hay infinitas teselaciones
Una teselación regular recubre el plano con polígonos regulares iguales, sin huecos ni solapamientos. En el plano de toda la vida —el euclidiano— solo existen tres: la de triángulos, la de cuadrados y la del panal de abejas. La razón es aritmética: los ángulos que concurren en cada vértice tienen que sumar exactamente una vuelta completa, y muy pocas combinaciones lo consiguen.
En el plano hiperbólico esa restricción se afloja. Ahí los ángulos de un polígono regular dependen de su tamaño, así que casi cualquier combinación puede ajustarse. El resultado es que las teselaciones hiperbólicas regulares son infinitas. Se nombran con el símbolo de Schläfli {p,q}: polígonos de p lados, con q de ellos alrededor de cada vértice. La familia es hiperbólica exactamente cuando
(p − 2)(q − 2) > 4
Por eso {7,3}, {5,4}, {3,7} y {6,4} funcionan aquí, mientras que {6,3} —donde el producto vale justo 4— es el panal euclidiano, y cualquier valor menor cae en la esfera. Cambia p y q arriba y verás la frontera en acción: si pides una familia que no cumple la condición, el generador te lo dice en lugar de dibujar algo falso.
El disco de Poincaré: todo el plano cabe en un círculo
El modelo del disco de Poincaré mete el plano hiperbólico entero dentro de un círculo. Conserva los ángulos, así que las figuras mantienen su forma y los dibujos resultan reconocibles, pero no conserva las distancias: los polígonos parecen encogerse hacia el borde aunque todos tengan exactamente el mismo tamaño hiperbólico. Ese borde no es una pared, es el infinito.
Las rectas del modelo —las geodésicas— son diámetros del disco o arcos de circunferencia que lo cortan en ángulo recto. Esto no es un detalle decorativo: es la razón de que cada lado del SVG que descargas sea un arco de circunferencia exacto y no una cadena de segmentos. Puedes ampliar el archivo cuanto quieras y las curvas siguen siendo curvas.
De la teselación a la franja y al anillo
Las otras dos salidas del generador son la misma teselación mirada de otra forma. Aplicando el logaritmo, el disco se convierte en una franja periódica que se repite hacia los lados con un período Δ propio de cada familia. Enrollando esa franja con la exponencial, cerrándola en un número exacto de períodos, aparece el anillo hiperbólico.
Ambas transformaciones conservan los ángulos, pero convierten los arcos de circunferencia en curvas que SVG no sabe escribir de forma exacta. Por eso esas dos salidas se dibujan con curvas de Bézier calculadas con derivadas analíticas y un error acotado que puedes elegir: son curvas de verdad, nunca segmentos rectos disimulados.
Los grabados de Escher, y cómo hacerlos aquí
Mucha gente llega a la geometría hiperbólica por los cuatro grabados Límite circular de M. C. Escher, con sus peces y sus ángeles que se van encogiendo hasta el borde. Son exactamente esto: teselaciones del plano hiperbólico dibujadas en el disco de Poincaré.
Escher no las dedujo. En 1958 contó que la idea le vino de una figura del artículo Crystal symmetry and its generalizations, del geómetra H. S. M. Coxeter. Le bastó ver el dibujo de una teselación hiperbólica para entender que ahí tenía la manera de meter el infinito dentro de una hoja, que era lo que llevaba años persiguiendo.
Douglas Dunham, que ha estudiado a fondo estos grabados, identifica debajo de cada uno una teselación regular. Son familias que puedes escribir arriba tal cual:
- Límite circular I — {6,6}: hexágonos, seis en cada vértice.
- Límite circular II — {8,3}: octógonos, tres en cada vértice.
- Límite circular III — {8,3} también, el de los peces.
- Límite circular IV — {4,5}: el de los ángeles y los demonios.
Con Límite circular III hay un detalle que merece contarse. Escher creía que las cintas blancas por las que nadan los peces eran rectas hiperbólicas. Coxeter comprobó que no: son hiperciclos, curvas que van siempre a la misma distancia de una recta sin llegar a serlo, y que cortan el borde del disco a unos 80°, no a 90° como haría una recta. Escher lo había clavado a ojo sin saber qué estaba dibujando exactamente.
Si cambias arriba el modelo a disco de Klein verás esa diferencia de golpe: ahí las rectas hiperbólicas se dibujan rectas de verdad, y lo que en Poincaré parecía curvo se endereza. Es la misma teselación, contada de otra manera.
En Klein notarás que los polígonos se amontonan contra el borde mucho antes que en Poincaré, hasta parecer que lo tocan. No lo tocan: el borde está en el infinito y ningún polígono llega nunca. Lo que ocurre es que Klein manda cada punto que estaba a distancia r del centro a 2r/(1+r²), y esa fórmula empuja hacia fuera. Con la familia {5,4}, el anillo de profundidad 2 queda a algo más de un píxel del borde en una imagen de 800; el de profundidad 4, a una centésima de píxel. Sigue estando dentro, pero ya no hay pantalla que lo distinga. Por eso en Klein una profundidad baja enseña más que una alta.
Piezas que encajan: por qué la silueta no puede salir mal
Escher no deformaba un dibujo para meterlo en un molde: diseñaba la pieza para que su propio contorno fuera la frontera del molde. Un pez encaja con el siguiente porque la panza de uno es el lomo del otro. Los ajustes de silueta hacen eso mismo aquí: sustituyen cada lado recto por una curva y las piezas dejan de ser polígonos.
Lo interesante es que no hay manera de que salga mal, y la razón es corta. En cualquier teselación {p,q}, girar media vuelta alrededor del punto medio de un lado es una simetría de la teselación, y ese giro intercambia justo las dos piezas que comparten ese lado. Así que si la curva no cambia al girarla media vuelta, las dos vecinas ven la misma curva sin tener que ponerse de acuerdo, y no puede quedar hueco ni solape.
Queda saber qué curvas cumplen eso. Midiendo a lo largo del lado con una coordenada s que vale cero en el punto medio, y separándose de él una cantidad t, la media vuelta es (s, t) → (−s, −t). Una curva t = f(s) queda igual si y solo si f es impar. Y toda función impar es una suma de senos:
f(s) = a₁·sen(πs/h) + a₂·sen(2πs/h) + a₃·sen(3πs/h) + …
Por eso los ajustes son cuatro deslizadores y no un editor de nodos: cada uno es un coeficiente, y cualquier combinación da una teselación válida. Como todos los senos valen cero en los extremos, la curva además empieza y acaba clavada en los dos vértices.
Lo único que sí se puede estropear es que una pieza se meta dentro de otra con la que no comparte lado. Eso no depende de lo alto que sea el bulto sino de lo deprisa que ondule —una onda menuda se sale mucho antes que una larga, porque su curvatura crece con el cuadrado del número de onda— así que lo que el taller limita es la suma Σ k·|ak|, que es la pendiente máxima de la curva. Si te pasas, baja los cuatro a la vez en la misma proporción: la forma se conserva y solo se aplana.
Cómo sacarle partido
Empieza eligiendo un diseño y una teselación: con eso solo ya sale algo, y la profundidad viene puesta en lo más hondo que esa combinación admite sin volverse inmanejable. Si quieres afinar, abre los ajustes avanzados. La profundidad cuenta anillos de polígonos alrededor del central y crece rápido: subir un solo nivel puede multiplicar por varias veces el número de figuras. El refinado subdivide los polígonos en triángulos sin añadir anillos, y los modos de color pintan esos triángulos sin tocar la geometría.
Para guardarlo tienes tres formatos. El SVG es el bueno si vas a seguir trabajando el dibujo: se abre en Inkscape, Illustrator o CorelDRAW y cada polígono sigue siendo una figura editable. El PDF también es vectorial —se amplía sin pixelarse y se imprime a cualquier tamaño—, y lo abre cualquiera sin instalar nada. El PNG es una imagen normal, para meterla en una presentación o subirla a cualquier sitio.
La dirección de la página guarda lo que has elegido, así que puedes copiarla y compartirla: quien la abra verá exactamente la misma teselación.
Preguntas frecuentes
Dudas habituales
¿Qué es una teselación hiperbólica?
Es un recubrimiento del plano hiperbólico por polígonos regulares iguales, sin huecos ni solapamientos. En el plano euclidiano solo existen tres teselaciones regulares —triángulos, cuadrados y hexágonos—, mientras que en el plano hiperbólico hay infinitas.
¿Cuándo existe la teselación {p,q}?
La notación de Schläfli {p,q} describe una teselación por polígonos de p lados con q de ellos alrededor de cada vértice. Es hiperbólica cuando (p−2)(q−2) > 4. Así, {7,3}, {5,4}, {3,7} y {6,4} son hiperbólicas, mientras que {6,3} es la del panal de abejas en el plano euclidiano.
¿Qué es el disco de Poincaré?
Es un modelo que representa todo el plano hiperbólico dentro de un disco. Conserva los ángulos, de modo que las figuras mantienen su forma, pero no las distancias: los polígonos parecen encogerse hacia el borde aunque todos tengan exactamente el mismo tamaño hiperbólico. Las rectas del modelo son diámetros del disco o arcos de circunferencia perpendiculares a su borde.
¿En qué se diferencian el disco, el stripe y el anillo?
Son la misma teselación vista de tres maneras. El disco es el modelo de Poincaré. El stripe es una franja periódica que se obtiene al aplicarle el logaritmo. El anillo se consigue enrollando esa franja hasta cerrarla en un número exacto de períodos.
¿Cómo hago una teselación hiperbólica paso a paso?
Elige la salida (disco, franja o anillo), escribe cuántos lados tiene el polígono y cuántos polígonos se juntan en cada vértice, y sube la profundidad hasta donde quieras ver. La vista previa se actualiza sola; cuando te guste, descarga el SVG. No hay más pasos: si la pareja de números cumple (p−2)(q−2) > 4, la teselación existe y sale.
¿Qué teselación usó Escher en los Límite circular?
Douglas Dunham identifica {6,6} en Límite circular I, {8,3} en el II y en el III, y {4,5} en el IV. Puedes escribir esos mismos números arriba y obtener la retícula sobre la que Escher dibujó. La idea le llegó de una figura del artículo «Crystal symmetry and its generalizations» de Coxeter. Un detalle: las cintas blancas de Límite circular III no son rectas hiperbólicas sino hiperciclos, y cortan el borde a unos 80°.
¿Qué diferencia hay entre el disco de Poincaré y el de Klein?
Son dos maneras de dibujar el mismo plano hiperbólico dentro de un círculo. Poincaré conserva los ángulos, así que los polígonos mantienen su forma, pero las rectas se ven curvas. Klein hace lo contrario: dibuja las rectas rectas, y a cambio deforma los ángulos y las figuras. Puedes cambiar de uno a otro arriba y comparar la misma teselación en los dos.
¿Qué son las teselaciones con dos polígonos?
Son las bi-regulares, que aquí se escriben {p₁,p₂;q}: alrededor de cada vértice se alternan polígonos de p₁ y de p₂ lados, y la pareja da q vueltas completas, así que en cada esquina hay 2q polígonos. En {3,7;4} se juntan ocho —cuatro triángulos y cuatro heptágonos— y su configuración de vértice se escribe 3.7.3.7.3.7.3.7. Existen cuando 1/p₁ + 1/p₂ + 1/q < 1, así que {3,7;4}, {4,6;4} y {3,4;6} son hiperbólicas. Se parecen más a un mosaico de verdad que las regulares, porque el ojo tiene dos formas que seguir en vez de una.
¿Qué son las teselaciones uniformes y la construcción de Wythoff?
Uniforme quiere decir que todos los vértices son iguales: dando la vuelta a cualquier esquina se encuentran los mismos polígonos en el mismo orden. Por eso no se nombran con un {p,q} sino con esa lista, la configuración de vértice: 3.4.7.4 significa triángulo, cuadrado, heptágono y cuadrado. Se construyen con el método de Wythoff: se toma un triángulo de ángulos π/p, π/q y π/r, se reflejan sus lados como si fueran espejos de caleidoscopio hasta llenar el disco, y se marca un punto dentro. Según en qué esquinas se ponga el punto sale una teselación distinta —siete en total por cada triángulo, más la chata—, y todas comparten los mismos espejos. El triángulo llena el disco cuando 1/p + 1/q + 1/r < 1: con (2,3,7) la suma es 0,976 y sale la más pequeña de todas; con (2,3,6) da justo 1 y lo que se llena es el plano llano.
¿Cuántas teselaciones hiperbólicas hay?
Infinitas. Regulares {p,q} hay una por cada par con (p−2)(q−2) > 4, que ya son infinitas; y las uniformes salen de los triángulos (p,q,r) con 1/p + 1/q + 1/r < 1, ocho por cada triángulo. Solo con los tres números hasta 8 hay más de cuatrocientas comprobadas. El taller trae setenta y tres preparadas, elegidas porque se leen bien en pantalla, pero los campos de la ficha avanzada aceptan cualquier triángulo: si la combinación existe, se dibuja.
¿Qué tienen de especial las teselaciones chatas?
Las chatas —snub, en inglés— se quedan solo con la mitad de las copias del triángulo: las que no están reflejadas. El resultado pierde la simetría de espejo y aparece en remolino, girando siempre en el mismo sentido, con triángulos nuevos rellenando los huecos que deja la mitad descartada. Son las únicas de la lista que no se pueden superponer con su propia imagen en un espejo: existen a izquierdas y a derechas, y son figuras distintas. La chata de (2,3,7) tiene configuración 3.3.3.3.7, cuatro triángulos y un heptágono en cada esquina.
¿Qué es la teselación dual?
La dual de {p,q} es {q,p}: la misma teselación mirada desde los vértices. Donde una pone un polígono, la otra pone una esquina, y al superponerlas cada lado de una cruza exactamente un lado de la otra. Así {7,3} y {3,7} son duales, igual que {6,4} y {4,6}; {5,5} es su propia dual. En el taller, el resumen de cada teselación lleva un botón para pasar a su dual y compararlas.
¿Por qué subir la profundidad deja de cambiar el dibujo?
Porque en el disco de Poincaré los anillos se apiñan contra el borde a velocidad exponencial. Cada anillo cabe en una franja mucho más estrecha que el anterior, y llega uno en que el anillo entero mide menos de un píxel: está dibujado, pero no se ve. A partir de ahí lo único que crece es el archivo. Cada teselación tiene su propio punto: la {6,4} tiene polígonos grandes y se agota hacia el quinto anillo, mientras que la {3,7} los tiene diminutos y aguanta doce. El taller ya viene con la profundidad puesta donde toca, y si la subes por encima te lo dice.
¿Por qué no siempre se puede pintar como un tablero de ajedrez?
Para que cada polígono quede de distinto color que todos sus vecinos hacen falta dos colores que se alternen alrededor de cada esquina, y en la esquina de una {p,q} se juntan q polígonos. Si q es par se alternan sin problema; si q es impar, no hay manera: el ciclo es impar. Por eso {6,4} o {4,8} salen como un tablero perfecto y {7,3} o {5,5} no. En el taller, cuando no se puede, se dibuja el mejor reparto que existe, con los pocos choques repartidos por el disco.
¿Necesito instalar algo o crear una cuenta?
No. El generador funciona dentro del navegador, sin registro y sin enviar tus parámetros a ningún servidor. Toda la geometría se calcula en tu propio dispositivo.
¿Qué puedo hacer con el archivo que descargo?
Puedes descargarla en SVG o en PDF —los dos vectoriales, se amplían sin perder nitidez y se editan en Inkscape, Illustrator o CorelDRAW— o en PNG si lo que quieres es una imagen para insertar en una diapositiva. El archivo se genera en tu dispositivo y el museo no guarda ninguna copia.
Sigue explorando
Geometría hiperbólica en el museo
Estas construcciones interactivas de la colección tratan las mismas ideas, y son un buen sitio donde seguir después de generar tu primera teselación.
Disco de Poincaré El modelo por dentro: geodésicas, ángulos y distancias. Teselación {5,4} Pentágonos hiperbólicos con cuatro en cada vértice. Teselación {3,7} La familia triangular más conocida del plano hiperbólico. Heptágono hiperbólico La celda que se repite en la teselación {7,3}. Teselación {3,∞} El caso límite, con vértices ideales en el borde. Toda la geometría hiperbólica El resto de la colección sobre este tema.
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